依纲靠本 突出能力 科学复习
——关于搞好2000年数学总复习的思考(一)
贵州 宋质彬
2000年数学高考总复习怎样才能科学有序，高效扎实呢？这是每一位考生和指导教师极其关注的问题。
为了正确制定总复习的方案，必须首先明白2000年高考的大环境、有关方针政策、1999年高考《考试说明》、试题及其评价，再根据近年数学高考已经形成的传统和命题改革动向的预测，结合考生自身实际深入研究，给以合理地判断和安排。
一、对2000年高考大环境的认识
2000年将是我国基础教育和高等教育继续深化改革的一年，全国第三次教育工作会议的胜利召开，加快了教育改革的步伐，1999年国家大规模扩招，使全国考生总数与招生人数的比例已经达到2.1:1，也就是说将近50%的考生当年能升入大学学习，并且国家明确保证2000年及今后几年仍将继续扩大招生。这一导向已经引起社会的巨大反响，群众对高校的关注热情大大提高。1999年教育部出台并开始在广东推行“3+X”的高考改革方案的试验，使一国普通高考名副其实地进入命题改革的过渡时期，中学素质教育也在继续推进，这样有利的大环境必将推动高考数学命题更加突出能力，强调素质，进一步促进中学素质教育健康发展，为扩招的高校提供更多合格的新生。
二、对’99高考数学试题的学习
’99高考数学试题用试卷阐述了国家对99届考生在数学科上知识和能力的具体要求，诠释了“3+2”向“3+X”转型的过渡时期，数学高考命题改革的动向和阶段性要求，对我们领会2000年高考数学命题的原则和基本精神具有非常重要的作用，也是我们制定总复习方案的最重要的依据，一定要认真学习，深入领会。
’99数学试题仍然是严格遵纲靠本、保持连续稳定，但更加突出能力，更加强调素质，积极慎重地深化命题改革的一份优秀试卷。
试卷的主要特点有：
1．严格遵纲靠本，保持连续稳定。考试内容略有微调，但仍考查近80个知识点，覆盖《考试说明》规定的理科十三章、文科十一章知识点总数近60%。除理（14）题可视为二元一次不等式表示的区域外，无超越命题范围规定的题目。理（14）题的命题意图不是考查学生是否掌握二元一次不等表示的区域与方程的整数解等知识，而是考查学生的学习潜质，考查学生是否能用基本数学思想方法分析和解决此类情境新颖的题目。例如用数形结合思想在职坐标平面内作出直线60x+70y=500，即可观察图象，心算而得不同的选购方式共有5种，也可使用特殊化思想，分类赋值验算，找到真支（A）。此题体现了教育部负责人在解释“3+X”改革方案时对命题范围的说明。他说：“命题范围遵循教学大纲又不拘泥于教学大纲。”笔者认为，此类着力于考查考生分析与解决问题的能力，可不用某些简单超纲知识解答的题目，仍应视为遵纲。
试卷结构与题型仍和’98试题一样，由选择题、填空题和解答题三类题目组成，仅选择题减少一道5分小题，全卷分值分布为：选择题共60分，其中1-10题每小题4分，11-14题每小题5分；填空题仍为16分，每小题一空，每空4分；解答题6道，分值增为74分，占全卷总分的50%，19-24题依次为每题10、12、12、12、14、14分，其中（21）题设3问，依次为4、4、4分；（22）题设2问，依次为6、6分；（23）题设3问，依次为6、4、4分。对分值分布的微调，意在加强解答题的分值比例，导向考生进一步注重知识发生过程，纠正传统教学“重结论、轻过程”的弊病。全面考查学生逻辑推理能力，计算能力，规范表述能力，减弱选择题特解、巧解的负面效应和猜题押题之风。
试卷难度结构仍然不变，按容易题、中等题、难题依次仍为3：5：2，压轴题（理（24））难度不低于0.2。整卷难度略有上调。
文理两科试卷继续保持差别，但进一步缩小差别。客观题除第（6）题外，（1）-（18）题已全部相同，解答题中有3道不同，有用姐妹题、同题异位题等手法，使文科解答题难度显著降低。这样安排既为“3+X”文理合卷继续进行舆论的准备，又有效地控制了文科的整卷难度。
2．全面突出能力，更加强调素质
’99数学试题在继承“重基础、出活题、考能力”的基础上，较全面地贯彻“以能力立意”的命题原则，初步实现了由知识型命题向能力型命题的全面转变，结合试题，对三大题型分述于后。
2．1选择题
选择题加强对思维能力、逻辑推理和基本数学思想方法的考查力度，初步形成“多想少算，不易猜答”的特色。
不再设置能直接用基础概念简单判断或用某一基础公式简单计算作答的容易题。例如（1）题是用韦恩图给出三个抽象集合M、P、S，要求考生正确判断交、并、补运算的结果，没有深刻理解交、并、补集的概念、符号和图象，或者将抽象集合转化为具体的集合（如数集）是不易迅速找到正确选项C的。
不再设置纯粹考查知识记忆能力的试题，如98（9）题对棱台中截面面积公式的考查。
引进推理计算题，让考生经过一定的推理，转化、再辅以必要的计算才能选出真支，提高了计算型选择题对思维能力、逻辑推理能力的要求，例如（4）题，只有经过必要的推理、转化，明确当x=a时，函数f(x)取得最小值-M，当x=b时，f(x)取得最大值M，因而区间[a,b]是f(x)的半周期，运用平移变换或诱导公式或退到特例（ω=1, φ=0）等方法才能找到真支C。
开始以浓墨重彩考查基本数学思想，特别是数形结合思想，例如（9）题、（13）题最适宜用数形结合思想来解，其余解法都会大大增加计算量，（14）题若用数形结合思想，先画出直线：60x+70y=500，则可立即由图象得到启发，找出5个符合题意的整点，得以真支A（此时考生可能完全没有想到平面区域或二元一次方程的整数解之类的知识）。（3）（4）（5）（6）（8）（11）（12）（14）题都体现了转化与化归的思想，（3）（7）（12）（13）题运用了方程思想。
继续注重考查数学意识、非逻辑思维和估算能力，例如（10）题是立体几何的体积计算题，但若只是运用分割的方法，将原多面体剖为三棱锥F-ADE和四棱锥F-ABCD，企图直接计算它们的体积作答，则会发现条件不确定而一筹莫展，结合选项，由题设条件算得V四棱锥F-ABCD=6后作合情推理，估算便得真支D，又若引入变换或构作长方体，使之转换为规则的特殊情形，也可直接算得精确值为选项D，但各种解法都不如估算简捷。
加强对知识间的联系与综合运用的考查，（2）（4）（5）（6）（8）（9）（10）（12）（13）（14）题都考查多个知识点和能力点，例如（13）题以多项选择转单选的形式，几乎全面地考查了直线与直线，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系。
对数学应用意识的考查继续放在突出地位，不仅（14）题是数学应有问题，抽取第三产业中电脑、软件、磁盘等高科技产品的购销活动作原型，考查考生的不等式知识、建模能力、分析和解决问题的能力，而且（7）题也可看作是以注水为原型的准应用问题。
综上可见，’99数学选择题确实加大了对能力考查的力度，加上命题组有意识地在难度结构上改变传统的由易到难的排序习惯，把一些情境新颖、思维能力较高、难度较大的题目，（4）理（6）（8）（10）题插入4分的小题，有的还位置靠前，更加大了对能力考查的力度，包括对考生非智力因素、心理素质、抗挫折能力，对试题整体优化处理策略的设计能力的考查。数学素质、综合素质、学习潜质好的考生在这里可得到充分展示能力的机会，机械套用，死记硬背的考生几乎无和武之地，高能者高分，低能者低分，进一步明显地区分开来了。
总体难度上，’99选择题比’98选择题略高。
2.2填空题
填空题继续充当了题型改革的重要试验田，在“以能力立意”的命题原则指导下成功地推出了考查考生数学素质的材料分析型开放性试题（18）题，限距组合类应用问题（16题），设计了可寻求合理运算途径的传统型计算题（15）（17）题。
（16）题的命制很有特色，从农作物立意引入限距组合，引导考生关注数学知识在农业生产中的应用，考查考生运用加法原理和乘法原理分析和解决问题的能力。试题的陈述简短明确，并保留了农村的习惯用语“选垄”等，使之与生产原型更接近。此题是自1994年以来，又一次在填空题中设置应用问题，且模型简单，生活气息浓，难度中等偏易，不失为一道创新型好填空题。
（18）题是发展性创新的优秀题型，用学生熟悉的空间元素的位置关系作素材，给出α、
β两个不同的平面，平面α、β之外的两条直线m,n的四个论断：（1）m⊥n, (2) α⊥β,(3)n⊥β, (4)m⊥α。由考生自选三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个考生认为正确的命题。（只要求写一个以降低难度）这种源于课本、用活课本，着力考查考生研究意识和创新能力的开放性题一经进入高考中等题，必定会产生巨大的力量，推动考生主动审视教材中基本定理、法则、公式的结构特征，相互联系和转化规律，促使他们主动地摄取和发现知识，提高思维品质，发展创造性思维。此题联想正方体或直四棱柱极易作答。
寥寥4道填空题，给填空题的改革试验带来新的生机和春的信息。
2．3解答题
解答题真正发展成了全卷的主体，无论是对思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力考查的深度和广度，还是对各个知识点、能力点的单个与整体功能的考查力度都上了一个新台阶。题量、分值的比例也明显上升。
在对知识的联系和综合应用的考查上，继续注重突出重点内容重点考查。六个解答题主要考查函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线的基础知识，但以能力立意，其考查角度、设问方式都较新颖不落俗套，使全体考生几乎都在陌生的情境中展现自己的聪明才智、数学素养和学习潜质，公平竞争。六个解答题结成网络，对各种基本数学思想、数学语言和数学能力都较好地进行了覆盖。
（19）题将无理不等式和对数不等式拼装成较复杂的不等式，考查考生运用转化与化归思想，分类讨论思想解不等式的能力。难度中等偏易。
（21）题是立体几何题，综合考查空间线线、线面、面面位置关系，棱柱的性质，点到平面的距离，异面直线的距离和三棱锥的体积。不仅全面考查了逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，而且陈题出新意，巧选截面构作直棱柱的内接三棱锥，考查考生观察能力、移出能力，分割转化为简单空间图形的能力和思维的敏捷性。此题起点低、入手容易、分散了难点。前面小问的结论直接为后面小问的推理服务，几乎所有的考生都有收获，提高了此题的区分度。在评分标准的改革上，继续用2分段标准给分，不再分细，明确规定每问推理与计算各得2分，论据和结论不正确的不给分，既使评分过程简化，又使给分客观、科学，保证了此题的效度和信度，是突出能力考查的又一成功举措。
（20）题是复数概念包装的三角求值题，是本卷锐意创新的一个范例，此题巧妙地把复数的代数形式，辐角的主值，正余弦函数、三角公式和不等式的知识融合在一起，用新颖的设问方式考查学生熟悉的知值求角题。成功地考查了学生辨析问题实质，综合运用数学知识解决问题的能力，只要考生认识到此题三角求值的本质，即可迅速发现题给条件与所求目标间的差异，找到突破口（对目标式y=θ-argz两边取正切运算），顺利作答。
（22）题是继1998（22）题后推出的又一个成功的应用问题。此题有意保持问题的原始状态，减少人为的加工，使数学应用题的考查推进到新的高度，更贴近实际。为此，（22）题有意不加注释地保留了较多的专业术语，形成一定的语言障碍，增加了转译，建模的难度。这就要考生有克服难题的勇气，咬文嚼字，细心阅读、理解题意，寻找、辨析数量关系，找到并建立数学模型，要把注意力始终集中到主要目标上，不受或少受生涩的专业术语和生活俚语的影响，直奔问题的数学本质。例如此题的第（I）问目标是求至少安装多少对轧辊，应把1对轧辊作1个单位来理解。在这里，轧辊是什么东西其实并不重要，并不影响问题的解决。第（II）问的目标是求出相邻两个疵点的间距L1，L2，L3，应意识到它们互不相等，且与带钢的某种特性（体积不变）密切联系，至于疵点在带钢上的位置则无关紧要，疵点是什么样的点也不必考虑了。要充分利用题目的全部提示，包括明示和暗示。明示是指题目中对专业术语的即时定义或用括号给出的解释或在题目后给出的注释和图表；暗示是指题目中的某些特征数、式和图表、图形的启迪。例如此题的示意图带钢由厚变薄的暗示，容易想到经过若干对轧辊后的带钢厚度可能成等比数列，有利于第（I）问建模。联想带钢轧制前后总体积不变，又有利于第（II）问建模。第（III）问表格只有三空，第四空L4对应1600，更启迪我们逆向求索，逐次求出L3，L2，L1，降低了第（II）问的难度。
（22）题第（II）问由一般到特殊的推理方式是对高考思维能力考查形式的新的丰富。
（23）题是全卷创新力度最大，难度最大的单题，它以分段函数为素材，以函数图象为切入点编拟，综合考查分段函数、等比数列、数列极限、直线斜率等多科知识，归纳、推理和综合的能力，是转换思辨型大跨度多科综合题，是发展性创新题目。由于命题采用了多种鲜为考生所知的转换手法，使此题的思维水平接近数学竞赛题。用部分考生的话说：这个题读不懂、进不去。此处，我们暂不评析该题是否超纲，就作答技巧而言，应清楚此题对比常规题有如下的改变：（1）改变了题目陈述的习惯，此题实质是函数性态研究题，但题目的表述全是函数的图象特征，形式上是几何问题；（2）改变函数问题的表述习惯，高中数学表述函数习惯地写成映射法则+定义域，这已成为中学师生的定势思维，此题却改变为映射法则+值域）函数值取值区间）；（3）改变了图象表述的习惯，通常中学函数图象多为一个确定的图形，并常常给出较常见的图形，此题改为普通语言抽象描述图象为自原点出发的一条折线，未画出图形（此种折线迄今为止中学教材几乎未涉及）且由参数b尚需分两类讨论，正确的结果应为两条大相径庭的折线（不是一条）。命题的这些探索对四大能力的要求都是很高的，对考生数学素质、综合素质、心理素质的要求也很高。
（23）题破题的关键是以良好的心理素质、坦然冷静地细心审题，认识本题的实质是几何语言包装的函数性态题，从而依据条件，咬文嚼字，从最简单情形0≤y≤1入手，步步深入，逐问争分。
（24）题主要考查曲线与方程、直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力。对方程思想、分类讨论思想和参数的运用都控制有度，是一道难度不大但区分度较好的试题。
综上可见，今年的解答题更加注重考思维、考能力、考数学意识、考数学素质、考综合素质，在逻辑推理、算理算法、数学语言、数学思想方法的运用上明显加大了力度。